Функцийн хязгаар гэж юу вэ

Энэхүү нийтлэлд бид математик шинжилгээний үндсэн ойлголтуудын нэг болох функцийн хязгаар: түүний тодорхойлолт, практик жишээнүүдийн янз бүрийн шийдлүүдийг авч үзэх болно.

Функцийн хязгаарыг тодорхойлох

Функцийн хязгаар – аргумент нь хязгаарлах цэг рүү чиглэх үед энэ функцийн утга чиглэдэг утга.

Хязгаарлалтын бүртгэл:

• хязгаарыг дүрсээр зааж өгсөн болно лим;
• доор нь функцын аргумент (хувьсагч) ямар утгатай болохыг нэмдэг. Ихэвчлэн энэ x, гэхдээ заавал биш, жишээ нь:x→1″;
• Дараа нь функц өөрөө баруун талд нэмэгддэг, жишээлбэл:

  

Тиймээс, хязгаарын эцсийн бүртгэл дараах байдалтай байна (бидний тохиолдолд):

шиг уншдаг "х нь нэгдмэл байх хандлагатай байдаг тул функцийн хязгаар".

x→ 1 - энэ нь "x" нь нэгдмэл байдалд хязгааргүй ойртож буй утгыг байнга авдаг боловч үүнтэй хэзээ ч давхцахгүй (үүнд хүрэхгүй) гэсэн үг юм.

Шийдвэрийн хязгаарлалт

Өгөгдсөн дугаартай

Дээрх хязгаарыг шийдье. Үүнийг хийхийн тулд функц дэх нэгжийг орлуулна уу (учир нь x→1):

Тиймээс бид хязгаарыг шийдэхийн тулд эхлээд өгөгдсөн тоог түүний доорх функцэд орлуулахыг оролддог (хэрэв x тодорхой тоо руу чиглэдэг бол).

Хязгааргүй хамт

Энэ тохиолдолд функцын аргумент хязгааргүй нэмэгддэг, өөрөөр хэлбэл, "X" хязгааргүйд хүрэх хандлагатай (∞). Жишээлбэл:

If x→∞, тэгвэл өгөгдсөн функц нь хасах хязгааргүй (-∞) хандлагатай байна, учир нь:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 гэх мэт.

Өөр нэг илүү төвөгтэй жишээ

Энэ хязгаарыг шийдэхийн тулд утгыг нэмэгдүүлэхэд л хангалттай x мөн энэ тохиолдолд функцийн "зан төлөвийг" харна уу.

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Тиймээс "X"хязгааргүйд хандах хандлага, функц x² + 3х – 6 хязгааргүй ургадаг.

Тодорхой бус байдалтай (x нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг)

Энэ тохиолдолд функц нь бутархай, тоологч ба хуваагч нь олон гишүүнт байх үед бид хязгаарын тухай ярьж байна. Хаана "X" хязгааргүй рүү тэмүүлдэг.

Жишээ нь: доорх хязгаарыг тооцоод үзье.

шийдэл

Тоолуур ба хуваагч дахь илэрхийлэл нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд шийдэл нь дараах байдалтай байна гэж үзэж болно.

Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч энгийн биш юм. Хязгаарыг шийдэхийн тулд бид дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1. Ол x тоологчийн хувьд хамгийн дээд хүч хүртэл (бидний тохиолдолд энэ нь хоёр).

2. Үүнтэй адилаар бид тодорхойлдог x хуваагчийн хувьд хамгийн их чадал руу (мөн хоёртой тэнцүү).

3. Одоо бид тоологч ба хуваагчийг хоёуланг нь хуваана x ахлах зэрэгтэй. Манай тохиолдолд, хоёр дахь тохиолдолд, гэхдээ тэдгээр нь өөр байсан бол бид хамгийн дээд зэрэглэлийг авах ёстой.

4. Үр дүнд нь бүх бутархайнууд тэг болох хандлагатай байгаа тул хариулт нь 1/2 байна.

Тодорхой бус байдалтай (x нь тодорхой тоо руу чиглэдэг)

Тоолуур ба хуваагч хоёулаа олон гишүүнт боловч "X" хязгааргүйд бус тодорхой тоо руу чиглэдэг.

Энэ тохиолдолд бид хуваагч тэг байна гэсэн нөхцөлтэйгээр нүдээ анидаг.

Жишээ нь: Доорх функцийн хязгаарыг олъё.

шийдэл

1. Эхлээд 1-ийн тоог аль функцэд орлуулъя "X". Бид авч үзэж буй хэлбэрийн тодорхой бус байдлыг олж авдаг.

2. Дараа нь бид тоологч болон хуваагчийг хүчин зүйл болгон задалдаг. Үүнийг хийхийн тулд, хэрэв тохиромжтой бол үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглаж болно, эсвэл.

Манай тохиолдолд тоологч дахь илэрхийллийн үндэс (2x² – 5x + 3 = 0) нь 1 ба 1,5 тоонууд юм. Тиймээс үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. 2(x-1)(x-1,5).

хуваагч (x–1) нь эхэндээ энгийн.

3. Бид ийм өөрчлөгдсөн хязгаарыг авдаг:

4. Бутархайг (-ээр багасгаж болно)x–1):

5. Хязгаарын дагуу олж авсан илэрхийлэлд 1-ийн тоог орлуулахад л үлддэг.