SLAE уусмалын Гауссын арга

Энэ нийтлэлд бид Гауссын арга гэж юу болох, яагаад хэрэгтэй вэ, түүний зарчим юу болохыг авч үзэх болно. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд энэ аргыг хэрхэн ашиглаж болохыг бид практик жишээ ашиглан харуулах болно.

Гауссын аргын тодорхойлолт

Гауссын арга шийдвэрлэхэд ашигладаг хувьсагчдыг дараалан арилгах сонгодог арга юм. Энэ нь Германы математикч Карл Фридрих Гауссын (1777-1885) нэрээр нэрлэгдсэн.

Гэхдээ эхлээд SLAU дараахь зүйлийг хийж чадна гэдгийг санацгаая.

• нэг шийдэлтэй байх;
• хязгааргүй тооны шийдэлтэй байх;
• нийцэхгүй байх, өөрөөр хэлбэл ямар ч шийдэлгүй байх.

Практик ашиг тус

Гауссын арга нь гурваас дээш шугаман тэгшитгэл, түүнчлэн дөрвөлжин биш системийг багтаасан SLAE-ийг шийдвэрлэх гайхалтай арга юм.

Гауссын аргын зарчим

Энэ арга нь дараах алхмуудыг агуулна.

1. Чигээрээ – тэгшитгэлийн системд харгалзах нэмэгдүүлсэн матрицыг эгнээнээс дээш гурвалжин (шаталсан) хэлбэр болгон бууруулсан, өөрөөр хэлбэл үндсэн диагональ доор зөвхөн тэгтэй тэнцүү элементүүд байх ёстой.
2. буцах – үүссэн матрицад үндсэн диагональ дээрх элементүүдийг мөн тэгээр тохируулсан (доод гурвалжин харагдац).

SLAE шийдлийн жишээ

Доорх шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргыг ашиглан шийдье.

шийдэл

1. Эхлэхийн тулд бид SLAE-ийг өргөтгөсөн матриц хэлбэрээр танилцуулж байна.

2. Одоо бидний даалгавар бол үндсэн диагональ доорх бүх элементүүдийг дахин тохируулах явдал юм. Цаашдын үйлдлүүд нь тодорхой матрицаас шалтгаална, доор бид манай тохиолдолд хамаарах зүйлсийг тайлбарлах болно. Эхлээд бид мөрүүдийг сольж, эхний элементүүдийг өсөх дарааллаар байрлуулна.

3. Хоёр дахь эгнээнээс эхнийх нь хоёр дахин, гурав дахь эгнээнээс эхнийх нь гурав дахин нэмэгдэнэ.

4. Гурав дахь мөрөнд хоёр дахь мөрийг нэмнэ.

5. Эхний мөрөөс хоёр дахь мөрийг хасч, гурав дахь мөрийг -10-аар хуваана.

6. Эхний үе шат дууссан. Одоо бид үндсэн диагональ дээрх тэг элементүүдийг авах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд эхний эгнээнээс гурав дахь үржвэрийг 7-оор үржүүлж, гурав дахь 5-аар үржүүлсэнийг хоёр дахь эгнээнд нэмнэ.

7. Эцсийн өргөтгөсөн матриц дараах байдалтай байна.

8. Энэ нь тэгшитгэлийн системд тохирно.

Хариулт: үндэс SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.