Комплекс тооны үндсийг задлах

Энэ нийтлэлд бид нийлмэл тооны үндсийг хэрхэн гаргаж авах, мөн ялгаварлагч нь тэгээс бага квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрхэн тусалж болох талаар авч үзэх болно.

Комплекс тооны үндсийг задлах

Квадрат язгуур

Бидний мэдэж байгаагаар сөрөг бодит тооны үндсийг авах боломжгүй юм. Гэхдээ нарийн төвөгтэй тоонуудын хувьд энэ үйлдлийг гүйцэтгэж болно. Үүнийг олж мэдье.

Бидэнд дугаар байна гэж бодъё z = -9. For √-9 хоёр үндэс байдаг:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Хүлээн авсан үр дүнг тэгшитгэлийг шийдэх замаар шалгацгаая z² =-9, үүнийг мартаж болохгүй i² =-1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ би² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ би² = 9 ⋅ (-1) = -9

Тиймээс бид үүнийг нотолсон -3i и 3i үндэс юм √-9.

Сөрөг тооны үндсийг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i гэх мэт

n-ийн хүчинд үндэс

Бидэнд хэлбэрийн тэгшитгэл өгсөн гэж бодъё z = ⁿ√w… Байсан n үндэс (z₀,₁,₂,…, z_{n-1 хувилбартай}), дараах томъёогоор тооцоолж болно.

|w| нь комплекс тооны модуль юм w;

φ - түүний аргумент

k нь дараах утгуудыг авдаг параметр юм: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Комплекс үндэстэй квадрат тэгшитгэл

Сөрөг тооны үндсийг задлах нь uXNUMXbuXNUMXb гэсэн ердийн санааг өөрчилдөг. Хэрэв ялгаварлагч (D) тэгээс бага бол жинхэнэ үндэс байж болохгүй, гэхдээ тэдгээрийг комплекс тоогоор илэрхийлж болно.

Жишээ нь

Тэгшитгэлээ шийдье x² – 8x + 20 = 0.

шийдэл

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, гэхдээ бид сөрөг ялгаварлагчийн үндсийг авч чадна:

√D = √-16 = ±4i

Одоо бид үндсийг тооцоолж болно:

x_1,2 = (-b ± √D)/2а = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Тиймээс тэгшитгэл x² – 8x + 20 = 0 хоёр цогц коньюгат үндэстэй:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i