Комплекс тоог натурал зэрэгт хүргэх

Энэ нийтлэлд бид нийлмэл тоог хэрхэн хүчирхэгжүүлж болохыг авч үзэх болно (Де Мойврын томъёог ашиглан). Онолын материалыг илүү сайн ойлгохын тулд жишээнүүдийг хавсаргасан болно.

Комплекс тоог хүчирхэг болгох

Нэгдүгээрт, нийлмэл тоо ерөнхий хэлбэртэй байдаг гэдгийг санаарай. z = a + bi (алгебрийн хэлбэр).

Одоо бид асуудлын шийдэл рүү шууд орж болно.

Квадрат тоо

Бид зэрэглэлийг ижил хүчин зүйлсийн бүтээгдэхүүн гэж төлөөлж, дараа нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүнийг олох боломжтой (үүнийг санаж байхдаа i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Жишээ 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Та мөн нийлбэрийн квадратыг ашиглаж болно:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ би + (би)² = a² + 2аби ​​– б²

Тайлбар: Үүний нэгэн адил шаардлагатай бол зөрүүний квадрат, нийлбэр / зөрүүний шоо гэх мэт томъёог авч болно.

N-р зэрэг

Комплекс тоог өсгө z хэлбэрээр нь n Хэрэв үүнийг тригонометрийн хэлбэрээр дүрсэлсэн бол илүү хялбар болно.

Ерөнхийдөө тооны тэмдэглэгээ дараах байдалтай байгааг санаарай. z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Экспонентацын хувьд та ашиглаж болно Де Мойврын томъёо (Английн математикч Абрахам де Мойврын нэрээр нэрлэсэн):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ нүгэл(nφ))

Томьёог тригонометрийн хэлбэрээр бичих замаар олж авдаг (модулуудыг үржүүлж, аргументуудыг нэмнэ).

Жишээ 2

Комплекс тоог өсгө z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) найм дахь зэрэг.

шийдэл

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ нүгэл(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).