Энэ нийтлэлд бид Евклидийн геометрийн гол теоремуудын нэг болох Стюартын теоремыг авч үзэх болно, үүнийг нотолсон Английн математикч М.Стюартын хүндэтгэлд зориулж ийм нэр авсан. Бид танилцуулсан материалыг нэгтгэхийн тулд асуудлыг шийдэх жишээг нарийвчлан шинжлэх болно.
Теоремын мэдэгдэл
Дан гурвалжин ABC. Түүний хажууд AC авсан цэг D, дээд хэсэгт холбогдсон байна B. Бид дараах тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрч байна.
- AB = a
- BC = b
- BD = p
- AD = x
- DC = ба
Энэ гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн юм:
Теоремын хэрэглээ
Стюартын теоремоос гурвалжны медиан ба биссектрисийг олох томъёог гаргаж болно.
1. Бисектрисын урт
Let lc тал руу татсан биссектрис юм c, энэ нь сегментүүдэд хуваагдана x и y. Гурвалжны нөгөө хоёр талыг авч үзье a и b… Энэ тохиолдолд:
2. Дундаж урт
Let mc медианыг хажуу тийш эргүүлсэн байна c. Гурвалжны нөгөө хоёр талыг гэж тэмдэглэе a и b… Дараа нь:
Асуудлын жишээ
Гурвалжин өгсөн ABC. Хажуу талд АС 9 см-тэй тэнцүү, авсан цэг D, аль нь тал нь тийм болохоор хуваасан AD хоёр дахин урт DC. Оройг холбосон сегментийн урт B ба цэг D, 5 см байна. Энэ тохиолдолд гурвалжин үүснэ ABD тэгш өнцөгт байна. Гурвалжны үлдсэн талуудыг ол ABC.
шийдэл
Бодлогын нөхцөлийг зургийн хэлбэрээр дүрсэлцгээе.
AC = AD + DC = 9 см. AD урт DC хоёр удаа, өөрөөр хэлбэл AD = 2DC.
Иймээс 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX см. Тэгэхээр, DC = 3 см, AD = 6 см.
Учир нь гурвалжин ABD – тэгш өнцөгт, хажуу тал AD 6 см, тиймээс тэд тэнцүү байна AB и BDIe AB = 5 см.
Зөвхөн олоход л үлддэг BC, Стюартын теоремоос томьёог гаргаж авсан:
Бид мэдэгдэж буй утгуудыг энэ илэрхийлэлд орлуулна:
Энэ замаар, BC = √52 ≈ 7,21 см.