Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем

Энэхүү нийтлэлд бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн (SLAE) тодорхойлолт, хэрхэн харагдах, ямар төрлүүд байдаг, мөн матриц хэлбэрээр, түүний дотор өргөтгөсөн хэлбэрээр хэрхэн танилцуулах талаар авч үзэх болно.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн тодорхойлолт

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем (эсвэл товчоор "SLAU") нь ерөнхийдөө иймэрхүү харагдах систем юм:

• m тэгшитгэлийн тоо;
• n хувьсагчийн тоо юм.
• x₁, х₂,…, x_n - үл мэдэгдэх;
• a₁₁,₁₂…, а_mn – үл мэдэгдэх коэффициентүүд;
• b₁, б₂,…, б_m - чөлөөт гишүүд.

Коэффицентийн индексүүд (a_ij) дараах байдлаар үүсдэг.

• i шугаман тэгшитгэлийн тоо;
• j нь коэффициент хамаарах хувьсагчийн тоо юм.

SLAU шийдэл - ийм тоо c₁, C₂,…, c_n , тохиргоонд нь оронд нь x₁, х₂,…, x_n, системийн бүх тэгшитгэл нь таних тэмдэг болж хувирна.

SLAU-ийн төрлүүд

1. Нэг төрлийн - системийн бүх чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү байна (b₁ = б₂ = … = b_m = 0).

   

2. Нэг төрлийн бус - дээрх нөхцөл хангагдаагүй бол.
3. Square – тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл m = n.

   

4. Дутуу тодорхойлсон – үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тооноос их байна.

   

5. дарагдсан Хувьсагчаас илүү тэгшитгэлүүд байдаг.

   

Шийдлийн тооноос хамааран SLAE нь:

1. хамтарсан дор хаяж нэг шийдэлтэй. Түүнээс гадна хэрэв энэ нь өвөрмөц байвал системийг тодорхой, хэд хэдэн шийдэлтэй бол түүнийг тодорхойгүй гэж нэрлэдэг.

   

   Дээрх SLAE нь хамтарсан, учир нь дор хаяж нэг шийдэл байдаг: х = 2 байна, y = 3.

2. үл нийцэх Системд шийдэл байхгүй.

   

   Тэгшитгэлийн баруун тал нь адилхан боловч зүүн тал нь тийм биш юм. Тиймээс ямар ч шийдэл байхгүй.

Системийн матрицын тэмдэглэгээ

SLAE-ийг матриц хэлбэрээр илэрхийлж болно:

AX = B

• A Энэ нь үл мэдэгдэх коэффицентээр үүсгэгдсэн матриц юм.

  

• X – хувьсагчийн багана:

  

• B – чөлөөт гишүүдийн багана:

  

Жишээ нь

Бид доорх тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр төлөөлдөг.

Дээрх маягтуудыг ашиглан бид коэффициент бүхий үндсэн матриц, үл мэдэгдэх, чөлөөт гишүүдтэй багануудыг бүрдүүлдэг.

Матриц хэлбэрээр өгөгдсөн тэгшитгэлийн системийн бүрэн бичлэг:

Өргөтгөсөн SLAE матриц

Хэрэв системийн матриц руу A баруун талд чөлөөт гишүүдийн баганыг нэмнэ үү B, өгөгдлийг босоо зураасаар тусгаарласнаар та SLAE-ийн өргөтгөсөн матрицыг авах болно.

Дээрх жишээний хувьд дараах байдалтай байна.

- өргөтгөсөн матрицын тэмдэглэгээ.